如何证明n^(n+1)>(n+1)^n?

n=1时，n^(n+1)=1<(n+1)^n=2
n=2时，n^(n+1)=8<(n+1)^n=9
n=3时，n^(n+1)=81>(n+1)^n=64
n=4时，n^(n+1)=1024>(n+1)^n=625
....所以有当n<=2时，n^(n+1)<(n+1)^n
当n>=3时，n^(n+1)>(n+1)^n
其实这个结论是可以证明的，证明如下
设f(x)=lnx/x(x>=1)
对函数求导得到f'(x)=(1-lnx)/x^2
所以有当1=<x<=e时，f'(x)>0函数是单调增的。
当x>e时，f'(x)<0函数是单调减的。
所以有当n>=3时,lnn/n>ln(n+1)/(n+1)
故有(n+1)lnn>nln(n+1)
即lnn^(n+1)>ln(n+1)^n,而函数y=lnx是单调增的，所以有
当n>=3时
n^(n+1)>(n+1)^n
对于n=1,n=2时的情况，可以直接列举，进行比较就可以得到的。
结论如上。

利用均值不等式
((n+1)^(n-1)*根号(n+1)*根号(n+1))^(1/(n+1))<((n+1)(n-1)+2*根号(n+1))/(n+1)
即(n+1)^(n/(n+1))<n-1+2/根号(n+1)<=n
得证

楼上的，太复杂了，直接利用两个重要极限就好了
首先也是举例，
n=1时，n^(n+1)=1<(n+1)^n=2
n=2时，n^(n+1)=8<(n+1)^n=9
n=3时，n^(n+1)=81>(n+1)^n=64
n=4时，n^(n+1)=1024>(n+1)^n=625
（借用了）
n^(n+1)>(n+1)^n 等价于 n>(1+1/n)^n
由于(1+1/n)^n是